2. Zahlensysteme

Aktuelle Computer kennen im wesentlichen zwei Zustände: Strom- oder Nicht-Strom. Da es nichts dazwischen gibt, werden diese Zustände auch "binär" genannt. Dies kann mit Zahlen wie folgt dargestellt werden:

• 0 → kein Strom

• 1 → Strom

Da wir Menschen uns besser im Zehnersystem zurechtfinden, wo es 10 eindeutige Zeichen gibt, brauchen wir eine Möglichkeit, zwischen diesen System hin- und herzurechnen. Jedes dieser sog. Stellenwertsysteme ist gleich aufgebaut. Schaut man sich das Zehnersystem an, bemerkt man, dass jede Stelle mit einer 10er Potenz multipliziert wird.

Zehnersystem

$$\ \begin{aligned} 328 &= 300 + 20 + 8 \\ &= 3 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 8 \cdot 1 \\ &= 3 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0 \\ \end{aligned}$$

Binärsystem

Das Binärsystem wird auch Dualsystem oder Zweiersystem genannt

Nun gibt es nur zwei eindeutige Zeichen, 0 und 1, und jede Stelle wird mit einer Zweierpotenz multipliziert. In der folgenden Tabelle sind die ersten 12 Dezimalzahlen auch als Binärzahl angegeben.

Binär	Dezimal
$0_2$	$0_{10}$
$1_2$	$1_{10}$
$10_2$	$2_{10}$
$11_2$	$3_{10}$
$100_2$	$4_{10}$
$101_2$	$5_{10}$

Binär	Dezimal
$110_2$	$6_{10}$
$111_2$	$7_{10}$
$1000_2$	$8_{10}$
$1001_2$	$9_{10}$
$1010_2$	$10_{10}$
$1011_2$	$11_{10}$

Hinweis: Subskript

Die tiefgestellte 2 bzw. 10 zeigt an, in welchem Zahlensystem die Zahl dargestellt ist und wird Subskript genannt. Durch das Subskript wird ersichtlich, ob bspw. mit 101 dezimal "Hundert und Eins" oder binär "Eins Null Eins" gemeint ist.

Binär → Dezimal

Die Umrechnung vom Binärsystem ins Dezimalsystem erfolgt durch Ausmultiplizieren mit den entsprechenden Zweierpotenzen.

Beispiel: 1011

Zweierpotenz	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
Binärzahl	$1$	$0$	$1$	$1$
Summanden	$8$	$0$	$2$	$1$
Resultat				$11$

oder mathematisch formuliert:

$$\begin{aligned} 1011_2 &= 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \\ &= 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \\ &= 11_{10} \end{aligned}$$

Dezimalsystem → Binärsystem

Für die Umrechnung vom Dezimalsystem zum Binärsystem ist die Tabelle der Zweierpotenzen essenziell:

$2^8$	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
256	128	64	32	16	8	4	2	1

Beispiel: 143

Die erste Zweierpotenz, die kleiner ist als 143 ist, ist $2^7 = 128$ → die Binärzahl hat also 8 Stellen.

Nun wird für jede Stelle überprüft, ob die entsprechende Zweierpotenz zur Zwischensumme dazuaddiert werden kann, oder ob man dadurch bereits eine zu grosse Zahl erhält.

2er-Potenz	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$	Zwischensumme
Rechnungsschritte	128	64	32	16	8	4	2	1
1. 128 $\lt 143$	1								128
2. 128 + 64 $\not \lt 143$	1	0							128
3. 128 + 32 $\not \lt 143$	1	0	0						128
4. 128 + 16 $\not \lt 143$	1	0	0	0					128
5. 128 + 8 $\lt 143$	1	0	0	0	1				136
6. 136 + 4 $\lt 143$	1	0	0	0	1	1			140
7. 140 + 2$\lt 143$	1	0	0	0	1	1	1		142
8. 142 + 1$= 143$	1	0	0	0	1	1	1	1	143

Bin → Dez

Wandeln Sie vom vom Binär- ins Dezimalsystem um.

Dez → Bin

Wandeln Sie vom Dezimal- ins Binärsystem um.